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TEOREMA DE PITAGORAS

TEOREMA DE ÁNGULOS EN PARALELAS Y UNA TRANSVERSAL

TEOREMA DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

ANGULOS ENTRE PARALELAS

 

 

Ángulos correspondientes

Las parejas de ángulos: <1 y <5; <2 y <6; <4 y <8; <3 y <7 se llaman ángulos correspondientes, y son congruentes (figura 1).

 Ángulos alternos

Alternos externos

Las parejas de ángulos: <1 y <7; <2 y <8 se llaman ángulos alternos externos, y son congruentes (figura 1).

Alternos internos

Las parejas de ángulos: <4 y <6; <3 y <5 se llaman ángulos alternos internos, y son congruentes (figura 1).

Ángulos congruentes entre paralelas

Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, de modo que, de los ocho ángulos formados entre dos paralelas y una transversal, hay únicamente dos distintos, que son adyacentes (figura 2).

Figura 2: Rectas paralelas a y b, tranversal t, ángulos adyacentes β y θ.

relación entre ángulos interiores y exteriores de un triangulo

TEOREMAS PARA ÁNGULOS INTERNOS Y EXTERNOS DE UN TRIÁNGULO

Teorema para ángulos internos de un triángulo: Los ángulos internos de todo triángulo suman 180°.

Teorema para ángulos externos de un triángulo: Un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes.

Ángulos en un triángulo

Los ángulos que se forman en un triángulo se relacionan entre sí cumpliendo con las siguientes propiedades o características:

1.- La suma de los ángulos internos de un triágulo es igual a dos ángulos rectos; es decir, suman 180º. En la figura, α + γ + ε = 180º. Recordar que γ = β  y que ε = δ por ser ángulos alternos internos.

2.- La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual a 90º. En la figura, α + β = 90º

3.- En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no contiguos (opuestos). En la figura, β = α + ε

4.- En todo triángulo la medida de un ángulo externo es mayor que la de cualquier ángulo interior no adyacente. En la figura, β > (es mayor que) α β > (es mayor que) e

5.- La suma tres ángulos exteriores de cualquier triángulo vale cuatro ángulos rectos; es decir, suman 360º. En la figura, α + β + γ = 360º

Congruencia de triángulos

Observa los siguientes triángulos:

Al mirar los dos pares de triángulos se puede apreciar que en ambos los triángulos tienen  entre si la misma forma y tamaño.

Cuando se cumplen estas dos condiciones se dice que los triángulos son congruentes; esta palabra (congruente) se simboliza o representa con el símbolo .

Definición:

Se dice que un Δ ABC es congruente con otro Δ DEF si sus lados respectivos son iguales y sus ángulos respectivos también lo son.

Para expresar en lenguaje matemático que los dos triángulos de la izquierda son congruentes, se usa la siguiente simbología:

       
Al observar los triángulos de la figura puede apreciarse que tienen lados respectivamente congruentes, que son:

También tienen ángulos respectivamente congruentes:

Entonces es posible afirmar que .

Al revés: si dos o más triángulos son congruentes, sus lados y ángulos lo serán respectivamente, en el orden de las letras asignadas a sus vértices para nombrarlos, salvo que gráficamente se indique otra correspondencia.

Si, por ejemplo, tenemos Δ ABR  Δ CDS, sus lados respectivamente congruentes serán:

Y los ángulos respectivamente congruentes serán:

Criterios de congruencia

Los criterios de congruencia corresponden a los postulados y teoremas que enuncian cuáles son las condiciones mínimas que deben reunir dos o más triángulos para que sean congruentes. 

Estas son:

1.- Congruencia de sus lados

2.- Congruencia de sus ángulos

Para que dos triángulos sean congruentes, es suficiente que sólo algunos lados y/o ángulos sean iguales.

Los postulados o criterios básicos de congruencia de triángulos son:

Postulado LAL

LAL significa lado-ángulo-lado.

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo determinado por ellos respectivamente iguales.

Postulado ALA

ALA significa ángulo-lado-ángulo.

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y el lado común a ellos, respectivamente, iguales.

Postulado LLA

LLA significa lado-lado-ángulo

Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos.

Postulado LLL

LLL significa lado-lado-lado.

Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.

                                

Semejanza de triángulos

Los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados homólogos.

Son ángulos homólogos:

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.

       

La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.

La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.

La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.

1 Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.

2 Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?

teorema de tales de mileto

Teorema de Tales

Se nombra así en nombre del geometro griego Tales de Mileto. 

El teorema de tales sirve para hacer dibujos a escala.

Primer teorema

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos 

son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y 

sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge

 uno de los resultados más básicos de la geometría, a saber, que:

"Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos

 triángulos semejantes." A el se debe una de las numerosas aplicaciones

que tiene la semejanza, que es la determinación de la distancia entre

 dos puntos inaccesibles entre sí; para ello se dice que calcula

 la altura de una de las pirámides de Egipto sin medirla directamente

, basándose en la longitud de la sombra de su bastón; así 

logró realizar una brillante triangulación.